No.228 整数 30SS2_1 【ＫＷ】 整数 和と差 並べ 4つ
【問】
異なる4つの正の整数がある。これらのうちから2つを選んで和と差（大きいほうの数から小さいほうの数を減じて得た数）を算出して，そのすべてを大きい順に左から並べたところ，次のとおりとなった。
109， 99， 87， 64， 57， 52， 45， 42， 35， 22， 12， 10
このとき， 4つの整数の和はいくらか。
【国総26年度】18_0**
１ 121
２ 144
３ 151
４ 154
５ 173
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【答】 ３
【解説】
ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄとして，ａ＋ｂ＝109，ａ＋ｃ＝99，⇒ｂ−ｃ＝10
組合せは，和の場合 a＋b，a＋c，a＋d，b＋c，b＋d，c＋d
差の場合 a−b，a−c，a−d，b−c，b−d，c−d
ところで，与えられた数の中で，2つの差が10であるものに着目すると
52と42，45と35，22と12の3組がある。
これより，この3組の数の中のどちらか一方にbとcがそれぞれ入っていることになり，b−c＝10より，左の大きい方にbが入っている。
そして，これらの3組は，b＋dとc＋d，a−cとa−b，b−dとc−dのいずれかである。他の組合せは，一方のみにbとcが入っていない。
ここで，小さいcとdの組合せは，(c＋d) + (c−d) ＝2cより，この和は偶数である。
したがって，bが入っていない右側の偶数である42と12が該当する。
c＋d＝42 c−d＝ 12
よって，4つの和は，a＋b＋c＋d＝109＋42＝151
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